Il SuperEnalotto conviene?

Spoiler: no.

Problema

Giocare al SuperEnalotto conviene? Sì? No? In caso, qual è la lotteria migliore da giocare?

Per poter rispondere matematicamente a questa domanda, bisogna fare due cose:

1. calcolare la probabilità di ogni tipo di estrazione;
2. calcolare la vincita media.

Calcolo delle probabilità di estrazione

Il SuperEnalotto funziona così: ti permette di scegliere 6 numeri su 90 e, una volta avvenuta l’estrazione, puoi vincere dei soldi in base a quanti ne indovini.

Nella versione liscia (senza SuperStar), si può vincere indovinando 2, 3, 4, 5, 5+1 e 6 numeri. Calcoliamo le probabilità di tutti questi casi partendo dall’ipotesi di indovinare 2 numeri su 6 (questi calcoli sono già resi disponibili dal sito di Sisal, che generosi).

Dell’intera tabella di numeri, ne vengono estratti 6, colorati in verde. Tutti gli altri sono numeri perdenti, e vengono colorati in rosso.

Per semplicità, possiamo metterli tutti in ordine:

e trattarli come numeri “anonimi” (non ci interessa il loro valore):

Per indovinare 2 numeri, significa che dobbiamo pescare 2 pallini verdi e 4 pallini rossi. La situazione potrebbe essere questa:

ma anche questa:

Ci sono davvero tante possibilità, ma quante? Per rispondere, dobbiamo utilizzare il coefficiente binomiale (potete recuperarlo qui).

Intanto, calcoliamo tutte le combinazioni possibili c_{tot}. La domanda che ci dobbiamo porre è la seguente:

Quanti modi ci sono di pescare 6 numeri in un contenitore di 90?

La risposta è la seguente:

c_{tot}=\binom{90}{6}=\frac{90!}{6! \cdot \left( 90-6 \right)!}=\frac{90!}{6! \cdot 84!}=

=\frac{85\cdot86\cdot87\cdot88\cdot89\cdot90}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}=622.614.630

Ci sono circa 622 milioni di possibilità. Tantine.

Per quanto riguarda la vincita di 2 numeri, le domande che dobbiamo farci sono due:

Quanti modi ci sono di pescare 2 numeri tra i 6 vincitori?

Quanti modi ci sono di pescare 4 numeri tra gli 84 non vincitori?

Ecco le risposte:

c_2'=\binom{6}{2}=\frac{6!}{2! \cdot 4!}=15

c_2''=\binom{84}{4}=\frac{84!}{4! \cdot 80!}=1.929.501

Se moltiplichiamo questi due valori, otteniamo le combinazioni totali che ci permettono di vincere indovinando 2 soli numeri.

c_2=c_2' \cdot c_2'' = 28.942.515

Infine, la probabilità di vincere con soli 2 numeri p_2 è pari a:

p_2=\frac{c_2}{c_{tot}}=\frac{28.942.515}{622.614.630}\approx 4,6\%

Seguendo questo ragionamento, possiamo porci le domande che ci permettono di calcolare le probabilità di tutti gli altri tipi di estrazione.

Quanti modi ci sono di pescare 3 numeri tra i 6 vincenti e 3 numeri tra gli 84 perdenti?

Quanti modi ci sono di pescare 4 numeri tra i 6 vincenti e 2 numeri tra gli 84 perdenti?

Quanti modi ci sono di pescare 5 numeri tra i 6 vincenti e 1 numero tra gli 84 perdenti?

Quanti modi ci sono di pescare 5 numeri tra i 6 vincenti, 1 numero come Jolly e 0 numeri tra gli 83 perdenti?

Quanti modi ci sono di pescare 6 numeri tra i 6 vincenti e 0 numeri tra gli 84 perdenti?

Per comodità, vi riporto tutto nella seguente tabella:

Calcolo della vincita media

Ora che sappiamo la probabilità di vincita di ogni categoria di combinazioni, possiamo arricchire la tabella con la vincita attesa di ognuna (anche questi dati sono resi disponibili dal sito Sisal).

Se moltiplichiamo la vincita attesa per la probabilità, otteniamo la vincita media di ogni categoria. Infine, se sommiamo la vincita media di ogni categoria, otteniamo il dato più importante: la vincita media globale.

Cosa significa questo dato? Significa che, giocando un numero molto grande di volte (tipo 500 milioni), anche vincendo il jackpot a più riprese, avremo vinto mediamente 0,60 € a giocata. A fronte di una spesa di 1,00 €, la vincita media globale è del 60%.

Sì, avete capito bene: in media, Sisal si intasca sistematicamente 0,40 € a giocata e se ne frega se qualcuno vince il montepremi ogni tanto perché lei è sempre in guadagno costante. Nessuna lotteria avrà mai una vincita media globale maggiore del costo della giocata perché altrimenti si tratterebbe di beneficienza.

Con l’opzione SuperStar le cose non migliorano per niente. Aggiungendo 0,50 €, si può scegliere un numero aggiuntivo che permette di accedere a grassi premi. Il risultato? La vincita media globale scende a 0,24 € a fronte di un costo di giocata di 1,50 €, stiamo parlando del 16%. Tutt’altro che conveniente.

Vi è mai capitato di pensare “Vabbè, potrebbero darti 1 € quando indovini anche un solo numero…”? Ecco perché non lo fanno: proviamo a impostare la vincita media della categoria 1 a 1 € e guardiamo come cambia la vincita media globale.

Il margine di guadagno di Sisal scende da 0,40 € a 0,10 €: è una diminuzione del 75%. Molto meglio rimpolpare il jackpot e attirare clienti con l’illusione di poter vincere 150 milioni con una bassissima probabilità che non dare 1 € con la probabilità del 30%.

Conclusioni

Il risultato è: conviene NON giocare!

Questo articolo dimostra matematicamente come sia conveniente non giocare, ma è altrettanto vero che si può definire un budget sostenibile (boh, 20 € al mese?) e giocare nella speranza di fare il botto senza sfociare nella ludopatia. Quindi, tanto vale farlo con la lotteria che garantisce la vincita media più alta, e qui arrangiatevi a fare i conti.