La grande chiavata del SuperEnalotto

Ti piace farti inculare?

Problema

Giocare al SuperEnalotto conviene? Sì? No? Con quale lotteria si vince di più? La risposta passa attraverso la risoluzione di due sotto-problemi:

1. calcolare la probabilità con cui si possono indovinare 1, 2, 3, …, 6 numeri
2. calcolare la vincita media di un numero infinito di giocate.

1. Calcolo delle probabilità di estrazione

Ripasso per chi non ha frequentato il corso di Ludopatia 1&2: il SuperEnalotto ti permette di scegliere 6 numeri su 90 e, una volta avvenuta l’estrazione, puoi vincere dei soldi in base a quanti ne indovini.

Nella versione liscia (senza SuperStar), si può vincere indovinando 2, 3, 4, 5, 5+1 e 6 dei numeri estratti. Calcoliamo le probabilità di tutti questi casi partendo dall’ipotesi di beccare 2 numeri su 6 (questi calcoli sono già resi disponibili dal sito di Sisal, che generosi).

Facciamo un esempio concreto: tabellone con 6 numeri vincenti (colore verde) e 84 numeri miserabili (colore rosso).

Mettiamoli pure in ordine, non cambia niente.

Anzi, rendiamo le cose ancora più facili e consideriamoli dei veri e propri numeri “anonimi”. 6 pallini verdi e 84 pallini rossi:

Aver indovinato 2 numeri significa selezionare 2 pallini verdi e 4 pallini rossi. Così:

Ma anche così:

Ci sono davvero tante possibilità di selezionare 2 pallini verdi tra i 6 disponibili e 4 pallini rossi tra gli 84 disponibili. Ma quante, di preciso? A questa domanda rispondiamo con il calcolo del coefficiente binomiale (ne ho parlato qui).

Quanti modi ci sono di pescare 2 numeri tra i 6 vincitori?

Quanti modi ci sono di pescare 4 numeri tra gli 84 non vincitori?

Applichiamo il calcolo del coefficiente binomiale e troviamo i due valori che ci interessano:

c_2'=\binom{6}{2}=\frac{6!}{2! \cdot 4!}=15

c_2''=\binom{84}{4}=\frac{84!}{4! \cdot 80!}=1.929.501

Moltiplichiamo questi due valori per ottenere c_2, il numero di combinazioni totali che permettono di vincere con 2 soli numeri.

c_2=c_2' \cdot c_2'' = 28.942.515

28 milioni, mica male! Ma non facciamoci ingannare, questo numero va analizzato in rapporto al numero di combinazioni totali c_{tot} disponibili. Poniamoci questa domanda:

Quanti modi ci sono di pescare 6 numeri in un contenitore di 90?

E diamoci questa risposta:

c_{tot}=\binom{90}{6}=\frac{90!}{6! \cdot \left( 90-6 \right)!}=\frac{90!}{6! \cdot 84!}=

=\frac{85\cdot86\cdot87\cdot88\cdot89\cdot90}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}=622.614.630

Il numero totale di combinazioni possibili nel SuperEnalotto è di 622 milioni. “Accipicchia”!

Se rapportiamo i 28 milioni di combinazioni vincenti di 2 numeri ai 622 milioni totali. otteniamo la probabilità di vincita p_2, che è pari a:

p_2=\frac{c_2}{c_{tot}}=\frac{28.942.515}{622.614.630}\approx 4,6\%

Seguendo questo ragionamento, possiamo porci le domande che ci permettono di calcolare le probabilità di tutti gli altri tipi di estrazione.

Quanti modi ci sono di pescare 3 numeri tra i 6 vincenti e 3 numeri tra gli 84 perdenti?

Risposta:

c_3'=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3! \cdot 3!}=20

c_3''=\binom{84}{3}=\frac{84!}{3! \cdot 81!}=95.284

c_3=c_3' \cdot c_3'' = 1.905.680

Quanti modi ci sono di pescare 4 numeri tra i 6 vincenti e 2 numeri tra gli 84 perdenti?

Risposta:

c_4'=\binom{6}{4}=\frac{6!}{4! \cdot 2!}=15

c_4''=\binom{84}{2}=\frac{84!}{2! \cdot 82!}=3.486

c_4=c_4' \cdot c_4'' = 52.290

Quanti modi ci sono di pescare 5 numeri tra i 6 vincenti e 1 numero tra gli 83 perdenti?

(I numeri perdenti sono 83 anziché 84 perche uno è il numero Jolly, che non indoviniamo)

Risposta:

c_5'=\binom{6}{5}=\frac{6!}{5! \cdot 1!}=6

c_5''=\binom{83}{1}=\frac{83!}{1! \cdot 82!}=83

c_5=c_5' \cdot c_5'' = 498

Quanti modi ci sono di pescare 5 numeri tra i 6 vincenti e 0 numeri tra gli 83 perdenti?

(il numero che manca è il numero Jolly, che indoviniamo)

Risposta:

c_{5+Jolly}'=\binom{6}{5}=\frac{6!}{5! \cdot 1!}=6

c_{5+Jolly}''=\binom{83}{0}=\frac{83!}{0! \cdot 83!}=1

c_{5+Jolly}=c_{5+Jolly}' \cdot c_{5+Jolly}'' = 6

Quanti modi ci sono di pescare 6 numeri tra i 6 vincenti e 0 numeri tra gli 84 perdenti?

Risposta:

c_6'=\binom{6}{6}=\frac{6!}{6! \cdot 0!}=1

c_6''=\binom{84}{0}=\frac{84!}{0! \cdot 84!}=1

c_6=c_6' \cdot c_6'' =1

Vi riporto i calcoli nella seguente tabella:

(Ho sbagliato a riportare il calcolo del caso “5”, po*ço di8)

2. Calcolo della vincita media

Ora che sappiamo la probabilità di vincita di ogni categoria di combinazioni, possiamo arricchire la tabella con la vincita attesa di ognuna (anche questi dati sono resi disponibili dal sito Sisal).

Moltiplichiamo la vincita attesa per la probabilità e otteniamo la vincita media di ogni categoria. Infine, sommiamo le vincite medie per ottenere il dato più importante: la vincita media globale.

Cosa significa questo dato? Significa che, giocando un numero molto grande di volte (tipo un miliardo di miliardi), anche vincendo il jackpot a più riprese, avremo ricavato mediamente 0,60 € a giocata. A fronte di una spesa di 1,00 €, la vincita media globale è del 60%.

Sì, avete capito bene: in media, Sisal si intasca sistematicamente 0,40 € a giocata e se ne frega se qualcuno vince il montepremi ogni tanto perché lei è sempre in guadagno costante. Nessuna lotteria avrà mai una vincita media globale maggiore del costo della giocata perché, altrimenti, si tratterebbe di beneficienza.

Con l’opzione SuperStar, le cose non migliorano per niente. Ecco come funziona: aggiungendo 0,50 €, si può scegliere un numero aggiuntivo che permette di accedere a grossi e grassi premi. Il risultato? La vincita media globale scende a 0,24 € a fronte di un costo di giocata di 1,50 €, stiamo parlando del 16%. Tutt’altro che conveniente.

Vi è mai capitato di pensare “Vabbè, potrebbero darti 1 € quando indovini anche un solo numero…”? Non lo faranno mai ed ecco perché: proviamo a impostare la vincita media della categoria “1” a 1,00 € e guardiamo come cambia la vincita media globale.

Il margine di guadagno di Sisal scende da 0,40 € a 0,10 € a giocata: troppo sconveniente (significa intascarsi il 75% in meno). Piuttosto, la loro strategia è quella di rimpolpare il jackpot e attirare clienti con l’illusione di poter vincere 150 milioni.

Conclusioni

Risultato: conviene non giocare!

Questo articolo dimostra matematicamente come sia conveniente non giocare, ma è altrettanto vero che si può definire un budget sostenibile (boh, 20 € al mese?) e giocare nella speranza di fare il botto. Quindi, tanto vale farlo con la lotteria che garantisce la vincita media più alta, e qui arrangiatevi voi a cercare le statistiche e fare i conti.